Un problème tient en peu de mots : « un champ de quinze pas de large et de seize pas de long : quel est le champ ? » — « Réponse : un mu » (今有田廣十五步，從十六步。問：為田幾何？荅曰：一畝). Une question, une réponse, et ensuite la procédure. Le quotidien d'un livre de calcul des Han commence par un morceau de terre comme celui-là.

Un problème de champ : quinze pas sur seize

Les deux premiers problèmes, tels qu'écrits : « un champ de quinze pas de large et de seize pas de long : quel est le champ ? Réponse : un mu. » « Autre champ, douze pas de large et quatorze de long : quel est le champ ? Réponse : cent soixante-huit pas » (答曰：一百六十八步). Le second n'atteint pas un mu, aussi la réponse est-elle donnée en pas — l'unité change avec la question. La procédure de ces problèmes n'est pas sous eux ; elle se tient à la tête du chapitre, pour tous.

La procédure du chapitre, telle qu'écrite : « La procédure du champ carré : multiplier entre eux les nombres de pas de la largeur et de la longueur donne l'aire en pas ; diviser par le diviseur du mu, deux cent quarante pas, et l'on a le nombre de mu ; cent mu font un qing » (方田術曰：廣從步數相乘得積步。以畝法二百四十步除之，即畝數。百畝為一頃). Trois gestes : multiplier pour obtenir l'aire, diviser par deux cent quarante, obtenir les mu ; cent mu pour un qing. Cet article ne réécrit pas la procédure en formule moderne et ne réduit pas « multiplier » à des signes modernes. La réponse « un mu » n'est pas non plus vérifiée par un calcul moderne : le livre donne cette réponse, et la réponse est recopiée.

Le chapitre change d'unité et de procédure en même temps. Un troisième problème : « un champ d'un li de large et d'un li de long : quel est le champ ? Réponse : trois qing soixante-quinze mu » (答曰：三頃七十五畝). Un quatrième : « deux li sur trois li : réponse, vingt-deux qing cinquante mu. » Et leur procédure : « La procédure du champ en li : multiplier entre eux les nombres de li de la largeur et de la longueur donne l'aire en li ; multiplier par trois cent soixante-quinze, et l'on a le nombre de mu » (里田術曰：廣從里數相乘得積里。以三百七十五乘之，即畝數). Même chapitre, même idée — multiplier les côtés, convertir le résultat en mu —, mais le multiplicateur change parce que l'unité change. Les chiffres sont recopiés ; aucun n'est vérifié.

Un autre chapitre : les taux du millet

Le chapitre du millet s'ouvre sur une table de taux : « grain 50, riz décortiqué (糲米) 30 ; riz poli (粺米) 27, riz blanchi (鑿米) 24 ; riz impérial (御米) 21, petit son (小䵂) treize et demi ; grand son (大䵂) 54, riz décortiqué cuit 75… » — jusqu'à « malt 175 » (櫱一百七十五), et entre les deux « riz 60, pâte de fèves 63 » et « grain cuit (飧) 90, fèves cuites (熟菽) cent trois et demi ». Une douzaine d'entrées et plus, deux par ligne, quelques-unes portant des fractions, toutes gardées telles quelles. Sous la table se tient la règle générale : « La procédure du présent : multiplier le nombre que l'on a par le taux cherché pour faire le dividende, prendre le taux que l'on a pour diviseur, et diviser » (今有術曰：以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一). Multiplier, diviser, résultat.

Les problèmes suivent ces trois gestes. Le premier : « Un dou de grain, que l'on veut faire en riz décortiqué : combien en obtient-on ? Réponse : six sheng de riz décortiqué. Procédure : pour tirer le riz décortiqué du grain, le multiplier par trois et diviser par cinq » (以粟求糲米，三之，五而一). Le second : « Deux dou un sheng de grain, que l'on veut faire en riz poli… Réponse : un dou un sheng et dix-sept cinquantièmes de sheng. Procédure : pour tirer le riz poli du grain, le multiplier par vingt-sept et diviser par cinquante » (二十七之，五十而一). La fraction de la réponse (dix-sept cinquantièmes) est recopiée telle quelle, ni décimalisée ni réduite. Un troisième : « Quatre dou cinq sheng de grain, que l'on veut faire en riz blanchi : combien en obtient-on ? Réponse : deux dou un sheng et trois cinquièmes de sheng. Procédure : pour tirer le riz blanchi du grain, le multiplier par douze et diviser par vingt-cinq » (十二之，二十五而一).

Problèmes et procédures : deux arrangements

Les deux chapitres sont arrangés différemment. Le chapitre des champs met une seule procédure à la tête et chaque problème s'en sert ; le chapitre du millet donne à chaque problème la sienne — « le multiplier par trois et diviser par cinq », « le multiplier par vingt-sept et diviser par cinquante », « le multiplier par douze et diviser par vingt-cinq », une ligne chacune. C'est une différence d'arrangement, non de mathématiques : chaque fois on dit par quoi multiplier et par quoi diviser, puis on donne le résultat. La procédure du champ en li est un troisième arrangement : non à la tête du chapitre, mais insérée après ses propres problèmes. Cet article expose cet ordre des gestes, ne les ramène pas à des formules modernes et ne dit pas que ces étapes auraient été « en avance » sur quoi que ce soit.

À qui est le livre

Le catalogue du Hanshu (漢書·藝文志) porte les noms d'une autre série de livres de calcul : « un livre du cadran solaire, trente-quatre rouleaux ; l'arithmétique de Xu Shang, vingt-six rouleaux ; l'arithmétique de Du Zhong, seize rouleaux » (日晷書三十四卷，許商算術二十六卷，杜忠算術十六卷) — dans la section « tables calendaires », totalisée « dix-huit écoles, six cent six rouleaux » (右曆譜十八家，六百六卷), avec une préface disant que les tables calendaires « ordonnent les places des quatre saisons, rectifient les nœuds des solstices et des équinoxes et réunissent les stations du soleil, de la lune et des cinq planètes ». À noter : le catalogue a deux livres portant le mot « arithmétique », et pas de titre appelé Neuf Chapitres. Au-dessus des tables calendaires, le même catalogue porte « astronomie : vingt et une écoles, quatre cent quarante-cinq rouleaux » — les livres de calcul sont rangés parmi les tables, non dans une classe à part. Le catalogue est une couche, le livre de calcul une autre.

Il faut donc écrire clairement la couche de composition : le Neuf Chapitres (九章算術) est un livre de calcul mis en ordre par des hommes des Han (c'est l'opinion générale), et non une preuve directe du « niveau des mathématiques sous les Han ». Les problèmes et les procédures du livre se sont accumulés sur une longue durée ; lesquels sont des Han, lesquels sont plus anciens, ni l'une ni l'autre des deux pages ne les sépare, et le catalogue du Hanshu ne le date pas non plus. Le livre compte neuf chapitres, dont les noms sont dans les titres — champs carrés, millet… —, mais les deux pages ne donnent ni éditeur ni date. Cet article recopie problèmes, réponses et procédures, et ne s'en sert pas pour prouver le niveau d'une époque.

Ce que ces problèmes ne disent pas

Ce qu'aucune des deux pages ne donne : qui se servait de ces problèmes, comment on les enseignait et les apprenait, les baguettes à calcul et leur disposition, l'usage de ces procédures dans l'administration réelle, ni d'où venaient les problèmes. Les lacunes sont listées ici et ne sont pas comblées. Cet article ne fait pas non plus de vérification moderne et ne signale pas que « les anciens se seraient trompés » — sauf si le livre donne lui-même une variante ; il n'y en a pas sur cette page, donc il n'y a rien à signaler. Les deux pages ne disent pas davantage comment une réponse se vérifie : chaque problème n'a qu'une réponse, sans calcul de contrôle.

Revenons aux deux problèmes du début : l'un multiplie puis divise par deux cent quarante, l'autre multiplie par trois et divise par cinq. Le livre recopie les étapes sans expliquer pourquoi ; tout ce qu'un lecteur peut faire, c'est les suivre pas à pas — un mu, six sheng, les deux nombres sont là. Quant à savoir comment l'ensemble s'est constitué, les deux pages s'arrêtent à la surface du problème.

À lire aussi：Le nom de naissance et le nom de lignée : comment on nommait un homme des Printemps et Automnes · Les hommes de Shang et leurs éléphants : trois phrases, trois livres · Tortues de tribut : d'où l'on disait que venaient les carapaces divinatoires

Sources et lectures complémentaires

  1. 《九章算术》（维基文库本，未与点校本复核） — The book itself. In the field chapter the first problem reads 'a field fifteen paces wide and sixteen paces long: what is the field? — Answer: one mu' (今有田廣十五步，從十六步。問：為田幾何？荅曰：一畝), and the second gives twelve by fourteen with the answer 'one hundred and sixty-eight paces' (一百六十八步). The chapter's procedure stands at its head: 'the square-field procedure: multiply the numbers of paces of width and length to obtain the pace-area; divide by the mu-divisor of two hundred and forty paces, and you have the number of mu; a hundred mu make a qing' (方田術曰：廣從步數相乘得積步。以畝法二百四十步除之，即畝數。百畝為一頃). The millet chapter begins with a table of rates — grain 50, husked 30, polished 27, bleached 24, imperial 21, small bran 13.5, and so on to malt 175 — then the general rule 'multiply the given number by the rate sought for the dividend, take the given rate as the divisor, and divide' (今有術曰：以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一). Its first problem: a dou of grain turned into husked rice gives six sheng, by the procedure 'three it, divide by five' (三之，五而一); the second gives two dou one sheng turned into polished rice, answer one dou one sheng and seventeen fiftieths of a sheng, by 'twenty-seven it, divide by fifty'. The page carries Li Chunfeng's commentary in smaller type; only the main text is quoted here.
  2. 班固《汉书》卷三十〈艺文志〉（维基文库本，未与点校本复核） — The Han imperial catalogue's 'calendrical tables' section lists: 'a sundial book, thirty-four scrolls; Xu Shang's arithmetic, twenty-six scrolls; Du Zhong's arithmetic, sixteen scrolls' (日晷書三十四卷，許商算術二十六卷，杜忠算術十六卷), under the summary 'the above calendrical tables: eighteen schools, six hundred and six scrolls' (右曆譜十八家，六百六卷), with a preface explaining that calendrical tables 'order the places of the four seasons, rectify the nodes of equinox and solstice, and bring together the stations of sun, moon and five planets' (序四時之位，正分至之節，會日月五星之辰). The section lists two books of 'arithmetic' and does not name the Nine Chapters.