方田と粟米——漢代の算書にある日常の題

一つの題の姿は短い。「今有田廣十五步，從十六步。問：為田幾何」——今、田の廣さ十五步、從十六步あり。問う、田と為すこと幾何ぞ、と。その下に三字。「荅曰：一畝」——答えて曰く、一畝、と。一句問い、一句答え、その後に術がある。漢代の算書の日常は、こうした一枚の田から始まる。

一道の田題：廣十五步、從十六步

最初の二題を原文のまま録す。「今有田廣十五步，從十六步。問：為田幾何？荅曰：一畝」「又有田廣十二步，從十四步。問：為田幾何？荅曰：一百六十八步」——今、田の廣さ十五步、從十六步あり。問う、田と為すこと幾何ぞ。答えて曰く、一畝。また田の廣さ十二步、從十四步あり。問う、田と為すこと幾何ぞ。答えて曰く、一百六十八步、と。第二題は一畝に滿たないので、答は「步」で數える。答は問いに隨って變わり、單位もそれに隨って變わる。この二題の術は題の下にはなく、章の冒頭に一括して與えられる。

章首の術を原文のまま録す。「方田術曰：廣從步數相乘得積步。以畝法二百四十步除之，即畝數。百畝為一頃」——方田術に曰く、廣と從の步數相乘して積步を得。畝法二百四十步を以てこれを除せば、即ち畝數。百畝を一頃と為す、と。三つの動作。相乘して積步を得、二百四十を以て除し、畝數を得。一百畝を一頃と為す。術文はこのように書かれている。本篇はこれを現代の公式に書き換えず、「相乘」を現代の記號に簡略化もしない。「一畝」という答えも驗算しない。書に書かれているのはこの答えであり、本稿はこの答えをそのまま録す。

同じ方田でも、單位が換われば術も一條換わる。第三題。「今有田廣一里，從一里。問：為田幾何？荅曰：三頃七十五畝」——今、田の廣さ一里、從一里あり。問う、田と為すこと幾何ぞ。答えて曰く、三頃七十五畝、と。第四題。「又有田廣二里，從三里。問：為田幾何？荅曰：二十二頃五十畝」——また田の廣さ二里、從三里あり。答えて曰く、二十二頃五十畝、と。術もそれに隨って換わる。「里田術曰：廣從里數相乘得積里。以三百七十五乘之，即畝數」——里田術に曰く、廣と從の里數相乘して積里を得。三百七十五を以てこれを乘ずれば、即ち畝數、と。やはり先に相乘し、次に畝に化す。ただ乘數が二百四十から三百七十五に換わっただけである。數字は原文のままに録し、一つも驗算しない。

もう一章：粟米の法

粟米章の冒頭は率の表である。「粟米之法：粟率五十，糲米三十；粺米二十七，鑿米二十四；御米二十一，小䵂十三半；大䵂五十四，糲飯七十五……」——粟米の法、粟率五十、糲米三十、粺米二十七、鑿米二十四、御米二十一、小䵂十三半、大䵂五十四、糲飯七十五……、と。「櫱一百七十五」に至るまで、中間に「稻六十，豉六十三」「飧九十，熟菽一百三半」もある。十數項、二項を一行にし、項によっては分數を帶びる（「小䵂十三半」「熟菽一百三半」）。すべて原樣のまま。表の下に總術がある。「今有術曰：以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一」——今有術に曰く、所有の數を以て所求の率に乘じて實と為し、所有の率を以て法と為し、實は法の如くにして一と為す、と。乘、除、得數、の三點である。

題もその三步に隨って行く。第一題。「今有粟一斗，欲為糲米。問：得幾何？荅曰：為糲米六升。術曰：以粟求糲米，三之，五而一」——今、粟一斗あり、糲米と為さんと欲す。問う、得ること幾何ぞ。答えて曰く、糲米六升と為す。術に曰く、粟を以て糲米を求むるには、三之し、五にして一とす、と。第二題。「今有粟二斗一升，欲為粺米……荅曰：為粺米一斗一升、五十分升之十七。術曰：以粟求粺米，二十七之，五十而一」——答の分數（「五十分升之十七」）は原文のままに録し、小數に化さず、約分もしない。第三題。「今有粟四斗五升，欲為鑿米。問：得幾何？荅曰：為鑿米二斗一升、五分升之三。術曰：以粟求鑿米，十二之，二十五而一」。

題と術：二つの編排

二章の編排は同じでない。方田章は術を章の冒頭に置き、すべての題が一條の術を共用する。粟米章は題ごとに自分の術を持つ——「三之，五而一」「二十七之，五十而一」「十二之，二十五而一」、一句ずつ。これは編排の違いであって、二種の數學ではない。どちらも先に何を乘じ何を除すかを言い、それから結果を與える。里田術はまた第三の編排で、章の冒頭ではなく自分の題の後ろに挿し込まれる。本篇はこの動作の順序だけを書き、それらを現代の公式に歸納せず、これらの步驟が何かに「先行」したとも言わない。

書は誰のものか

『漢書·藝文志』の書目には、別の一群の算書の名がある。「日晷書三十四卷，許商算術二十六卷，杜忠算術十六卷」——日晷書三十四卷、許商算術二十六卷、杜忠算術十六卷、と。「曆譜」の類に列ねられ、この類は「十八家，六百六卷」、曆譜の小序はそれが「四時の位を序し、分至の節を正し、日月五星の辰を會し、以て寒暑殺生の實を考う」と言う。注意すべきは、この書目に「算術」の二字を持つ書が二部あり、しかも『九章算術』という書名がないことである。曆譜の前にはまた「天文二十一家，四百四十五卷」がある。算書は「曆譜」の類に歸され、「算術」という獨立の類を立てていない。書目の層と算書の層は、二つの層である。

ゆえに本篇は成書の層を明記する。『九章算術』は漢人が整理して成書した算書であり（一般にはそうされる）、「漢代の數學水準」の直接の證據ではない。書の中の題と術は長期に累積したものであり、どれが漢代に屬しどれがより早いか、兩頁は分けない。『漢書』の書目もそれに編年を與えない。書は九章に分かれ、章名は標目にあり——方田・粟米……——だが、兩頁とも編者も年代も與えない。本篇は題・答・術のままに録し、それらを以て一時代の水準を證明しない。

これらの題が教えないもの

兩頁とも與えないのは、誰がこれらの題を使っていたか、どう教えどう學んだか、算籌の實物とその並べ方、これらの術が實際の行政でどう用いられたか、題がどこから來たか。缺口はここに列ね、補わない。本篇も現代の驗算をせず、「古人は間違えた」とも指摘しない——書自身が異說を與えている場合を除いて。この頁にはそうした異說がないので、標すべきものもない。兩頁とも答えをどう照合したかも言わない。各題には一つの答だけがあり、驗算の過程はない。

冒頭の二題に戻る。一つは相乘して二百四十で除し、一つは三之して五而一。書は步驟を寫し取り、なぜかを説明しない。讀者にできるのは、步驟に從って一度やってみることだけである——一畝、六升、二つの數はそこにある。この一整套がどう積み上げられたかについては、兩頁とも題面で止まっている。

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