Rechteckfelder und Hirse: Alltagsaufgaben in einem Rechenbuch der Han

Eine Aufgabe ist kurz: „ein Feld von fünfzehn Schritt Breite und sechzehn Schritt Länge: wie groß ist das Feld?“ — „Antwort: ein mu“ (今有田廣十五步，從十六步。問：為田幾何？荅曰：一畝). Eine Frage, eine Antwort, danach das Verfahren. Das Alltägliche in einem Rechenbuch der Han beginnt mit einem Stück Land wie diesem.

Eine Feldaufgabe: fünfzehn auf sechzehn Schritt

Die ersten beiden Aufgaben im Wortlaut: „ein Feld von fünfzehn Schritt Breite und sechzehn Schritt Länge: wie groß ist das Feld? Antwort: ein mu.“ „Und ein Feld von zwölf Schritt Breite und vierzehn Schritt Länge: wie groß ist das Feld? Antwort: einhundertachtundsechzig Schritt.“ Die zweite bleibt unter einem mu, deshalb wird die Antwort in Schritt gegeben — die Einheit wechselt mit der Frage (又有田廣十二步，從十四步。問：為田幾何？答曰：一百六十八步). Das Verfahren zu diesen Aufgaben steht nicht unter ihnen, sondern am Kopf des Kapitels, für alle zusammen.

Das Verfahren am Kapitelkopf im Wortlaut: „Das Verfahren des Rechteckfelds: die Zahlen der Schritt von Breite und Länge miteinander multiplizieren, das ergibt die Schrittfläche. Durch den mu-Divisor von zweihundertvierzig Schritt teilen, das ergibt die Zahl der mu. Hundert mu sind ein qing“ (方田術曰：廣從步數相乘得積步。以畝法二百四十步除之，即畝數。百畝為一頃). Drei Handlungen: multiplizieren und die Fläche in Schritt erhalten, durch zweihundertvierzig teilen und die mu erhalten; hundert mu sind ein qing. Dieser Artikel schreibt das Verfahren nicht in eine moderne Formel um und löst auch das „multiplizieren“ nicht in moderne Zeichen auf. Auch die Antwort „ein mu“ wird nicht nachgerechnet: Das Buch gibt diese Antwort, und der Artikel übernimmt sie.

Dasselbe Feld, andere Einheit — und schon ein anderes Verfahren. Eine dritte Aufgabe: „ein Feld von einem li Breite und einem li Länge: wie groß ist das Feld? Antwort: drei qing fünfundsiebzig mu“ (今有田廣一里，從一里。問：為田幾何？答曰：三頃七十五畝). Eine vierte: „und ein Feld von zwei li Breite und drei li Länge: wie groß ist das Feld? Antwort: zweiundzwanzig qing fünfzig mu“ (又有田廣二里，從三里。問：為田幾何？答曰：二十二頃五十畝). Und das Verfahren dazu: „Das Verfahren des li-Felds: die Zahlen der li von Breite und Länge miteinander multiplizieren, das ergibt die li-Fläche. Mit dreihundertsünfundsiebzig multiplizieren, das ergibt die Zahl der mu“ (里田術曰：廣從里數相乘得積里。以三百七十五乘之，即畝數). Erst multiplizieren, dann in mu umsetzen — nur wechselt der Multiplikator von zweihundertvierzig auf dreihundertsünfundsiebzig. Die Zahlen werden übernommen, keine wird nachgerechnet.

Ein anderes Kapitel: die Raten der Hirse

Das Hirsekapitel beginnt mit einer Tabelle von Raten: „Die Raten der Hirse: Hirse-Satz fünfzig (粟率五十), geschältes Korn dreißig (糲米三十); poliertes Korn siebenundzwanzig (粺米二十七), gebleichtes Korn vierundzwanzig (鑿米二十四); kaiserliches Korn einundzwanzig (御米二十一), kleine Kleie dreizehneinhalb (小䵂十三半); große Kleie vierundfünfzig (大䵂五十四), gekochtes geschältes Korn fünfundsiebzig (糲飯七十五)…“ — bis „Malz einhundertfünfundsiebzig“ (櫱一百七十五), dazwischen „Reis sechzig, Bohnenpaste dreiundsechzig“ (稻六十，豉六十三) und „gekochtes Korn neunzig, gekochte Bohnen hundertdrei und ein halb“ (飧九十，熟菽一百三半). Ein Dutzend und mehr Posten, zwei auf einer Zeile, manche mit Brüchen, alle so, wie sie dastehen. Unter der Tabelle steht das allgemeine Verfahren: „Die vorhandene Zahl mit der gesuchten Rate multiplizieren, das ergibt den Dividenden; die vorhandene Rate als Divisor nehmen; den Dividenden durch den Divisor teilen“ (今有術曰：以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一). Multiplizieren, teilen, Ergebnis.

Die Aufgaben folgen diesen drei Schritten. Die erste: „Es ist eine dou Hirse vorhanden, die man zu geschältem Korn machen will. Gefragt: wie viel ergibt das? Antwort: sechs sheng geschältes Korn. Das Verfahren: um aus Hirse geschältes Korn zu erhalten, mit drei multiplizieren und durch fünf teilen“ (今有粟一斗，欲為糲米。問：得幾何？答曰：為糲米六升。術曰：以粟求糲米，三之，五而一). Die zweite: „Es sind zwei dou und ein sheng Hirse vorhanden, die man zu poliertem Korn machen will. Gefragt: wie viel ergibt das? Antwort: ein dou und ein sheng poliertes Korn, siebzehn Fünfzigstel eines sheng. Das Verfahren: um aus Hirse poliertes Korn zu erhalten, mit siebenundzwanzig multiplizieren und durch fünfzig teilen“ (今有粟二斗一升，欲為粺米。問：得幾何？答曰：為粺米一斗一升、五十分升之十七。術曰：以粟求粺米，二十七之，五十而一). Der Bruch in der Antwort, siebzehn Fünfzigstel eines sheng, wird übernommen, weder in eine Dezimalzahl umgesetzt noch gekürzt. Die dritte: „Es sind vier dou und fünf sheng Hirse vorhanden, die man zu gebleichtem Korn machen will. Gefragt: wie viel ergibt das? Antwort: zwei dou und ein sheng gebleichtes Korn, drei Fünftel eines sheng. Das Verfahren: um aus Hirse gebleichtes Korn zu erhalten, mit zwölf multiplizieren und durch fünfundzwanzig teilen“ (今有粟四斗五升，欲為鑿米。問：得幾何？答曰：為鑿米二斗一升、五分升之三。術曰：以粟求鑿米，十二之，二十五而一).

Aufgaben und Verfahren: zwei Anordnungen

Die beiden Kapitel sind verschieden angeordnet. Das Feldkapitel setzt ein Verfahren an den Kopf, und alle Aufgaben gebrauchen es; das Hirsekapitel gibt jeder Aufgabe ihr eigenes — „mit drei multiplizieren und durch fünf teilen“, „mit siebenundzwanzig multiplizieren und durch fünfzig teilen“, „mit zwölf multiplizieren und durch fünfundzwanzig teilen“, je ein Satz. Das ist ein Unterschied der Anordnung, nicht der Mathematik: Beide sagen zuerst, womit multipliziert und wodurch geteilt wird, und geben dann das Ergebnis. Das li-Feld-Verfahren ist eine dritte Anordnung: Es steht nicht am Kapitelkopf, sondern hinter seinen eigenen Aufgaben. Dieser Artikel beschreibt diese Reihenfolge der Handlungen, fasst sie nicht in moderne Formeln und sagt auch nicht, dass diese Schritte irgendetwas „voraus“ hätten.

Wessen Buch das ist

Der Katalog der Hanshu, das Yiwenzhi (漢書·藝文志), nennt andere Rechenbücher: „Sonnenuhrbuch, vierunddreißig Rollen; Xu Shangs Rechenkunst, sechsundzwanzig Rollen; Du Zhongs Rechenkunst, sechzehn Rollen“ (日晷書三十四卷，許商算術二十六卷，杜忠算術十六卷) — in der Klasse „Kalendertafeln“ (曆譜), die als Ganzes „achtzehn Schulen, sechshundertsechs Rollen“ zählt (右曆譜十八家，六百六卷); die kurze Vorrede zu dieser Klasse sagt, die Kalendertafeln „ordnen die Plätze der vier Jahreszeiten, richten die Knotenpunkte von Äquinoktium und Solstitium und bringen die Stationen von Sonne, Mond und den fünf Planeten zusammen“. Zu beachten ist dabei, was dieser Katalog hat und was nicht: zwei Bücher mit dem Wort „Rechenkunst“ (算術) im Titel, aber keinen Buchtitel Neun Kapitel. Vor den Kalendertafeln steht „Astronomie: einundzwanzig Schulen, vierhundertfünfundvierzig Rollen“ — die Rechenbücher sind in die Klasse der Kalendertafeln eingeordnet, eine eigene Klasse „Rechenkunst“ gibt es nicht. Die Ebene des Katalogs und die Ebene des Rechenbuchs sind zwei Ebenen.

Also muss die Ebene der Entstehung ausdrücklich benannt werden: Die Neun Kapitel (九章算術) sind ein Rechenbuch, das Han-Leute zusammengestellt haben — das ist die gängige Auffassung —, und es ist kein unmittelbarer Beleg für „das Niveau der Mathematik der Han-Zeit“. Seine Aufgaben und Verfahren sind über lange Zeit gewachsen; welche zur Han-Zeit gehören und welche älter sind, unterscheiden diese beiden Seiten nicht, und der Katalog der Hanshu datiert es auch nicht. Das Buch hat neun Kapitel, und die Kapitelnamen stehen in den Überschriften — Rechteckfelder, Hirse und so weiter —, doch die beiden Seiten nennen weder einen Bearbeiter noch eine Zeit. Dieser Artikel übernimmt Aufgaben, Antworten und Verfahren und benutzt sie nicht, um das Niveau einer Epoche zu beweisen.

Was diese Aufgaben nicht sagen

Was keine der beiden Seiten gibt: wer diese Aufgaben gebrauchte, wie gelehrt und gelernt wurde, die Rechenstäbe als Gerät und wie sie gelegt wurden, wie diese Verfahren in der Verwaltung angewandt wurden und woher die Aufgaben stammen. Die Lücken stehen hier und werden nicht gefüllt. Dieser Artikel rechnet auch nicht modern nach und sagt nicht, „die Alten hätten sich verrechnet“ — es sei denn, das Buch selbst gebe eine abweichende Lesart; auf dieser Seite gibt es keine, also ist auch nichts zu markieren. Die beiden Seiten sagen auch nicht, wie eine Antwort geprüft wurde: Jede Aufgabe hat nur eine Antwort und keinen Rechenweg zur Probe.

Zurück zu den beiden Aufgaben am Anfang: Die eine multipliziert und teilt durch zweihundertvierzig, die andere multipliziert mit drei und teilt durch fünf. Das Buch schreibt die Schritte ab und erklärt nicht, warum; was ein Leser tun kann, ist, sie einmal durchzugehen — ein mu, sechs sheng, die beiden Zahlen stehen da. Wie das Ganze sich aufgebaut hat, lassen beide Seiten an der Oberfläche der Aufgabe.

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