Un problema es breve: «un campo de quince pasos de ancho y dieciséis pasos de largo: ¿cuánto es el campo?» «Respuesta: un mu» (今有田廣十五步，從十六步。問：為田幾何？荅曰：一畝). Una pregunta, una respuesta y, detrás, el procedimiento. La vida diaria de un libro de cálculo de los Han empieza con un terreno así.
Un problema de campo: quince pasos por dieciséis
Los dos primeros problemas, copiados tal cual: «un campo de quince pasos de ancho y dieciséis pasos de largo: ¿cuánto es el campo? Respuesta: un mu». «Otro campo de doce pasos de ancho y catorce de largo: ¿cuánto es el campo? Respuesta: ciento sesenta y ocho pasos» (荅曰：一百六十八步). El segundo no llega a un mu, y por eso la respuesta se da en pasos: la unidad cambia con la pregunta. El procedimiento de estos problemas no está debajo de cada uno, sino al inicio del capítulo, para todos a la vez.
El procedimiento del inicio del capítulo, copiado tal cual: «el procedimiento del campo cuadrado dice: multiplicar entre sí los números de pasos de ancho y de largo y se obtiene el área en pasos; dividir por el divisor de mu, doscientos cuarenta pasos, y se tiene el número de mu; cien mu hacen un qing» (方田術曰：廣從步數相乘得積步。以畝法二百四十步除之，即畝數。百畝為一頃). Tres acciones: multiplicar y obtener el área en pasos, dividir por doscientos cuarenta y obtener los mu; cien mu hacen un qing. El texto del procedimiento se escribe así; este artículo no lo reescribe como fórmula moderna ni reduce «multiplicar» a signos modernos. Tampoco se comprueba la respuesta «un mu» con un cálculo moderno: el libro da esa respuesta y aquí se copia esa respuesta.
El capítulo cambia de unidad y de procedimiento a la vez. Tercer problema: «un campo de un li de ancho y un li de largo: ¿cuánto es el campo? Respuesta: tres qing setenta y cinco mu» (荅曰：三頃七十五畝). Cuarto: «otro campo de dos li de ancho y tres li de largo: ¿cuánto es el campo? Respuesta: veintidós qing cincuenta mu». Y el procedimiento cambia con ellos: «el procedimiento del campo en li dice: multiplicar entre sí los números de li de ancho y de largo y se obtiene el área en li; multiplicar por trescientos setenta y cinco y se tiene el número de mu» (里田術曰：廣從里數相乘得積里。以三百七十五乘之，即畝數). Primero multiplicar y luego convertir a mu, igual que antes; solo que el multiplicador pasa de doscientos cuarenta a trescientos setenta y cinco. Las cifras se copian y ninguna se comprueba.
Otro capítulo: las tasas del mijo
El capítulo del mijo empieza con una tabla de tasas: «la regla del mijo: mijo, tasa cincuenta; arroz descascarillado (糲米), treinta; arroz pulido (粺米), veintisiete; arroz blanqueado (鑿米), veinticuatro; arroz imperial (御米), veintiuno; salvado menudo (小䵂), trece y medio; salvado grueso (大䵂), cincuenta y cuatro; arroz descascarillado cocido (糲飯), setenta y cinco…»; hasta «malta (櫱), ciento setenta y cinco», y en medio «arroz (稻), sesenta; pasta de habas fermentada (豉), sesenta y tres» y «grano cocido (飧), noventa; habas cocidas (熟菽), ciento tres y medio». Más de una docena de partidas, dos por línea, algunas con fracción, todas tal como están. Debajo de la tabla viene el procedimiento general: «el procedimiento de lo que se tiene dice: multiplicar la cantidad que se tiene por la tasa de lo que se busca y se tiene el dividendo; tomar la tasa de lo que se tiene como divisor; y el dividendo, dividido por el divisor, da uno» (今有術曰：以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一). Multiplicar, dividir, obtener el resultado.
Los problemas siguen esos tres pasos. El primero: «se tiene un dou de mijo y se quiere hacer arroz descascarillado (糲米): ¿cuánto se obtiene? Respuesta: se obtienen seis sheng de arroz descascarillado. Procedimiento: para pedir arroz descascarillado al mijo, multiplicar por tres y dividir por cinco» (以粟求糲米，三之，五而一). El segundo: «se tienen dos dou y un sheng de mijo y se quieren hacer arroz pulido (粺米)… Respuesta: se obtienen un dou y un sheng de arroz pulido y diecisiete cincuentavos de un sheng. Procedimiento: para pedir arroz pulido al mijo, multiplicar por veintisiete y dividir por cincuenta» (二十七之，五十而一). La fracción de la respuesta (diecisiete cincuentavos de un sheng) se copia tal cual, sin pasarla a decimal y sin simplificarla. El tercero: «se tienen cuatro dou y cinco sheng de mijo y se quieren hacer arroz blanqueado (鑿米): ¿cuánto se obtiene? Respuesta: se obtienen dos dou y un sheng de arroz blanqueado y tres quintos de un sheng. Procedimiento: para pedir arroz blanqueado al mijo, multiplicar por doce y dividir por veinticinco» (十二之，二十五而一).
Problemas y procedimientos: dos maneras de ordenarlos
Los dos capítulos están ordenados de manera distinta. El capítulo del campo cuadrado pone un solo procedimiento al inicio y todos los problemas lo usan; el capítulo del mijo da a cada problema el suyo: «multiplicar por tres y dividir por cinco», «multiplicar por veintisiete y dividir por cincuenta», «multiplicar por doce y dividir por veinticinco», uno por línea. Es una diferencia de orden, no de dos matemáticas: en ambos se dice primero por cuánto se multiplica y por cuánto se divide, y luego se da el resultado. El procedimiento del campo en li es una tercera manera: no está al inicio del capítulo, sino insertado detrás de sus propios problemas. Este artículo solo escribe ese orden de las acciones; no las reduce a fórmulas modernas ni dice que estos pasos estuvieran «por delante» de nada.
De quién es el libro
En el catálogo del Hanshu·Yiwenzhi (漢書·藝文志) hay otros nombres de libros de cálculo: «libro del reloj de sol, treinta y cuatro rollos; aritmética de Xu Shang, veintiséis rollos; aritmética de Du Zhong, dieciséis rollos» (日晷書三十四卷，許商算術二十六卷，杜忠算術十六卷), dentro de la sección «tablas calendáricas» (曆譜), que se totaliza como «dieciocho escuelas, seiscientos seis rollos» (右曆譜十八家，六百六卷); el prefacio de la sección dice que las tablas calendáricas «ordenan los lugares de las cuatro estaciones, corrigen los nudos de los solsticios y equinoccios y reúnen las estaciones del sol, la luna y los cinco planetas». Conviene notar qué tiene y qué no tiene este catálogo: dos libros con la palabra «aritmética», y ningún título llamado Nueve Capítulos. Antes de las tablas calendáricas el mismo catálogo trae «astronomía: veintiuna escuelas, cuatrocientos cuarenta y cinco rollos»; los libros de cálculo quedan clasificados dentro de «tablas calendáricas», sin una clase propia de «aritmética». La capa del catálogo y la capa del libro de cálculo son dos capas.
Por eso la capa de la formación del libro hay que escribirla con claridad: los Nueve Capítulos (九章算術) son un libro de cálculo compilado por hombres de los Han (la opinión común), no una prueba directa del «nivel matemático de los Han». Los problemas y los procedimientos se fueron acumulando durante mucho tiempo; cuáles son de época Han y cuáles anteriores, ninguna de las dos páginas lo separa, y el catálogo del Hanshu tampoco los fecha. El libro se divide en nueve capítulos, y los nombres están en sus títulos —campo cuadrado, mijo…—, pero las dos páginas no dan ni editor ni fecha. Este artículo copia problemas, respuestas y procedimientos, y no los usa para demostrar el nivel de una época.
Lo que estos problemas no dicen
Lo que ninguna de las dos páginas da: quién usaba estos problemas, cómo se enseñaban y se aprendían, las varillas de cálculo como objeto y su manera de disponerlas, cómo se aplicaban estos procedimientos en la administración, de dónde venían los problemas. Los huecos quedan enumerados aquí y no se rellenan. Este artículo tampoco hace comprobaciones modernas ni señala que «los antiguos se equivocaron»: solo si el libro mismo diera otra versión habría algo que marcar, y en esta página no hay tal versión. Las dos páginas tampoco dicen cómo se verificaba una respuesta: cada problema tiene una sola respuesta y ningún desarrollo de la comprobación.
Volvamos a los dos problemas del principio: en uno se multiplica y se divide por doscientos cuarenta; en el otro se multiplica por tres y se divide por cinco. El libro copia los pasos y no explica por qué; lo que el lector puede hacer es seguirlos: un mu, seis sheng, los dos números están ahí. Cómo se fue formando todo esto, las dos páginas lo dejan en la superficie del problema.
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Fuentes y lecturas recomendadas
- 《九章算术》（维基文库本，未与点校本复核） — The book itself. In the field chapter the first problem reads 'a field fifteen paces wide and sixteen paces long: what is the field? — Answer: one mu' (今有田廣十五步，從十六步。問：為田幾何？荅曰：一畝), and the second gives twelve by fourteen with the answer 'one hundred and sixty-eight paces' (一百六十八步). The chapter's procedure stands at its head: 'the square-field procedure: multiply the numbers of paces of width and length to obtain the pace-area; divide by the mu-divisor of two hundred and forty paces, and you have the number of mu; a hundred mu make a qing' (方田術曰：廣從步數相乘得積步。以畝法二百四十步除之，即畝數。百畝為一頃). The millet chapter begins with a table of rates — grain 50, husked 30, polished 27, bleached 24, imperial 21, small bran 13.5, and so on to malt 175 — then the general rule 'multiply the given number by the rate sought for the dividend, take the given rate as the divisor, and divide' (今有術曰：以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一). Its first problem: a dou of grain turned into husked rice gives six sheng, by the procedure 'three it, divide by five' (三之，五而一); the second gives two dou one sheng turned into polished rice, answer one dou one sheng and seventeen fiftieths of a sheng, by 'twenty-seven it, divide by fifty'. The page carries Li Chunfeng's commentary in smaller type; only the main text is quoted here.
- 班固《汉书》卷三十〈艺文志〉（维基文库本，未与点校本复核） — The Han imperial catalogue's 'calendrical tables' section lists: 'a sundial book, thirty-four scrolls; Xu Shang's arithmetic, twenty-six scrolls; Du Zhong's arithmetic, sixteen scrolls' (日晷書三十四卷，許商算術二十六卷，杜忠算術十六卷), under the summary 'the above calendrical tables: eighteen schools, six hundred and six scrolls' (右曆譜十八家，六百六卷), with a preface explaining that calendrical tables 'order the places of the four seasons, rectify the nodes of equinox and solstice, and bring together the stations of sun, moon and five planets' (序四時之位，正分至之節，會日月五星之辰). The section lists two books of 'arithmetic' and does not name the Nine Chapters.
